Disertační práce
Kap. 3: Literární rozbor

  
3. Literární rozbor

3.1. Neurčitost jevu

Obecně lze říci, že do systému vstupují podněty v podobě vstupního vektoru, které se prostřed- nictvím převodní funkce transformují na výstupní vektor. Je-li tento výstup jednoznačný, tj. opakovaným zadáváním stejných podnětů odpovídá stejný výstupní vektor, označujeme takový model za deterministický. 
Pokud však při zachování stálých (opakovaných) vstupních podmínek získáváme různé výstupy, označujeme takový model za nedeterministický - stochastický. 
Může však nastat i třetí případ, kdy nejsou jednoznačně určitelné výsledky - u takového děje je možné přistoupit na fuzzy modely. Je-li nejistota procesní, pak nastupuje statistika - pravděpodobnost. .

V technické praxi se setkáváme se situacemi jednoznačnými a neopakovatelnými. Pomocí popisné statistiky provádíme analýzu výstupních dat (možno postoupit až k metodám data mining) a pomocí matematické statistiky (induktivní) se snažíme pochopit vnitřní mechanismus procesu. Pomocí pravděpodobnosti, při znalosti vnitřního mechanismu, se snažíme o určení výsledků (pravdě - podobných)..

3.2. Diskrétní a kontinuální model
Každý děj probíhající v systému pevných látek je ovlivňován velkým množstvím faktorů a v podstatě jej nelze kvalitativně popsat ze všech hledisek současně. Stávající programy obvykle sledují jen některé vybrané parametry, přičemž z vnějších vlivů jsou uvažovány jen ty nejdůležitější. 

Velká většina reálných objektů z pevných látek není tvořena homogenní hmotou, která má v libovolném místě stejné vlastnosti a stejnou strukturu. Materiály předmětů vzniklých lidskou i přírodní činností obsahují značné množství různých fází, navzájem se lišících chemickým složením, krystalickou stavbou a vlastnostmi. Při studiu heterogenních soustav je nutné znát jednak vlastnosti každé z přítomných fází, ale i stavbu a chování jejich vzájemných rozhraní. 
Diskrétní model respektuje atomární stavbu těles (atomární ve smyslu částic jako nositelů homogenní vlastnosti). Jednotlivé atomy nahrazuje hmotnými body nazývanými částicemi, z nichž každá je nositelkou vlastností (atributů). Cílem matematické formulace diskrétního modelu je přiřadit částicím hodnoty jejich vlastnosti. Jedná se o zobrazení z množiny částic do množiny hodnot atributů. Každé z těchto zobrazení je obecně funkcí času.
Mechanickým kontinuem se rozumí model tělesa, který abstrahuje od jednotlivých částic tím, že je spojitě rozprostírá, tedy nahrazuje nespočetně mnoha infinitezimálními částicemi. V makro objemech významně překračujících rozměry a vzdálenost částic je taková náhrada adekvátním obratem, na úrovni mikro objemů již ne. Jednotlivé děje jsou popsány diferenciálními rovnicemi, kdy konstanty v rovnicích a okrajové podmínky se stanovují na základě makroskopického sledování daného děje [1].

Doposud načrtnuté se dá shrnout do následující věty: Modelování nejen technických, ale i biologických, ekonomických či společenských jevů je podmíněno snahou o jejich předpověď do budoucna. V obecnější rovině se jedná o získání věrohodných výsledků o fungování systému na základě již známých faktů, a to o systémech, které buď ještě nejsou vůbec vytvořeny, či jsou vytvořeny jen zčásti. Účelem modelování - simulace je dosažení předpovědi s co možná největší přesností, a tím ušetření času a finančních prostředků při řízení, ovládání, vývoji a výrobě. 
Modelování fyzikálních a posléze konkrétních inženýrských problémů v technické praxi bylo umožněno nejen lepším pochopením podstaty jevů, které jsou pozorovány v přírodě, ale hlavně nasazením výpočetní techniky. Tam bylo možné začlenit již dříve vyvinuté algoritmy a nové algoritmy vyvíjet na jejich základě. [2]

Stejně jako i v jiných inženýrských aplikacích, i ve slévárenství, se postupem času vyvinuly a nalezly uplatnění simulační programy. Modelování slévárenských procesů mělo v posledním desetiletí důležitý význam při odlévání. Dnešní simulační modely zahrnují predikci taveniny během plnění formy, vzájemný vztah kovu a formy, jejich reakce, následné deformace odlitku - pnutí a predikci struktury odlitku. V současnosti jsou realizovány práce na modelech celých slévárenských operací [3]. 

3.3. Simulace technologických procesů
Počítačové prostředky, které optimalizují práci nejen ve slévárenském procesu, jsou označovány jako "Počítačové technologické systémy" (Computer-aided technology systems) - CAT. Tyto zahrnují systémy pro "Počítačovou podporu kvality" (Computer- aided quality assurance) CAQ, jejíž součásti jsou i Programy simulace tuhnoucích a ochlazovacích procesů v soustavě odlitek - forma, které jsou zahrnuté do prostředků CAD nebo přímo do CAQ. Nebo i do "Počítačové podpory plánování" (Computer-aided planning) - CAP. Dalším členem v CAQ je Počítačová podpora výrobního procesu (Computer-aided manufacturing process) - CAM. [4]
Zabývejme se dále "Programy simulace tuhnoucích a ochlazovacích procesů v soustavě odlitek - forma".

Úvodním krokem při řešení každého problému je rozdělení geometrie tělesa na prvky jednoduchých tvarů a konečných rozměrů, tzv. prostorová diskreditace. Tím se jednoznačně specifikuje, jakým způsobem bude ke spojitému problému přiřazen diskrétní numerický model s konečným počtem neznámých parametrů (stupňů volnosti). Rozdělením oblasti vznikne síť konečných prvků (mesh), která je určena známou množinou prvků (elementů), uzlů (nodes), uzlových souřadnic a přiřazením uzlů prvkům. Málo efektivní manuální přípravu sítě dnes provádějí interaktivně ovládané programy tzv. preprocessory.
Jediná síť může být složena z jednoho nebo různých typů prvků (podle použité metody), přitom je ale nutno dodržet požadavky jejich vzájemné kompatibility. Řešení spočívá ve výpočtu diferenciálních rovnic, jež popisují daný technický (termofyzikální) problém a hledá se příslušná forma funkcí, udílející stacionární hodnotu příslušného funkcionálu. 
Řešení každé úlohy je možné rozdělit do tří základních etap: návrh numerického modelu a příprava vstupních dat (preprocessing), vlastní výpočet (processing), zpracování výsledků (postprocessing). 

a) Preprocessing
Prvním krokem řešení je vytvoření geometrického modelu tělesa. Je třeba rozlišit podstatné a nepodstatné tvarové detaily z hlediska požadované úrovně a účelu připravovaného výpočtu. Moderní systémy nabízejí efektivní řešení takových problémů rozložením do více úrovní pomocí tzv. substruktur, submodelů. 
Významným prostředkem ke snížení velikostí připravované úlohy je využití symetrie daného problému. Týká-li se symetrie nejen geometrie, ale i vazeb, materiálu, popř. zatížení, je možné diskreditovat jen jednu symetrickou část tělesa s předepsáním příslušných okrajových podmínek na osách symetrie. Geometrický model lze převzít buď z CAD / CAM systémů pomocí standardních datových formátů nebo ho vytvářet přímo příslušným preprocessorem.

b) Processing
Řešení připravené úlohy probíhá zpravidla již bez zásahu řešitele v následujících etapách:
* čtení a formální kontrola správnosti vstupních dat
* tvorba prvkových matic
* sestavení celkových matic, včetně realizace okrajových podmínek
* řešení základní soustavy rovnic

c) Postprocessing
K efektivnímu vyhodnocení výsledků nabízejí moderní systémy grafické prostředky umožňující názornou prezentaci výstupních dat (teplotní pole, napjatost, deformace). Běžným a nejpřehlednějším způsobem znázornění je barevné rozlišení úrovně jednotlivých složek teploty, napětí či mikrostruktury podle zvolené barevné stupnice. K vybraným bodům je možno získat i konkrétní číselné hodnoty sledované veličiny. 
Efektivním prostředkem znázornění teplotního pole (deformací, mikrostruktury) je využití animace, tj. promítnutí teplotního pole jako spojitého procesu změny od výchozí až do konečné hodnoty v čase. 
Jednou vytvořený model konstrukce je možné snadno modifikovat a tak umožnit levnou analýzu řady variant daného problému [5].

3.4. Modelování slévárenských procesů
Uvažované systémy ve slévárenství zahrnují popis tuhnutí odlitků, popisují formu odlitku, okolí a další externí vlivy. 
Proces plnění začíná odléváním taveniny do systému vtokovými kanály a následným plněním dutiny formy. To je spojeno s kontaktem tekutého kovu s atmosférou a se stěnou formy. Během plnění dutiny formy dochází k teplotnímu přenosu mezi plochou kovu a stěnou formy radiací (zářením) a kondukcí (vedením), které v praxi mohou vést až k nežádoucím stavům v podobě prasknutí formy a následné tvorby defektů na povrchu odlitku. V této oblasti mají velký význam hydrodynamické podmínky, které jsou závislé jak na samotném kovu (jeho viskozitě), tak i na průběhu systému (rychlost toku, hydrodynamický odpor atd.). Během tohoto času se v objemu odlitku a formy vytváří pseudo - počáteční teplotní tok, který je významný pro plnění dutiny formy (a také pro další chladnutí a tuhnutí odlitku).
Po úplném zaplnění dutiny formy dohasíná síla konvekce v tavenině kovu, systém se stále ochlazuje - dochází ke ztrátě tepla do okolí, včetně vyvinutého vnitřního tepla (entalpie) z přechlazení a latentního tepla krystalizace. V oblasti taveniny budoucího odlitku, (kde přirozená konvekce - proudění - má stále významné místo) dochází k solidifikaci - tuhnutí kovu při teplotním gradientu. Rozhodující rolí je nyní dokončení tuhnutí odlitku, jejíž podmínky jsou samozřejmě závislé na chemickém složení slitin a intenzitě odvodu tepla z formy, které je odvislé od tvaru tuhnoucích částí odlitku a zbylých tekutých suboblastí. 
Tuhnutí se tak skládá z přechodu odlitku z oblasti likvidu do solidu při odvádění latentního tepla a entalpie přehřátí. Hranice mezi oblastmi likvidu a solidu jsou zmenšeny na jeden nebo dva povrchy. Později se proces tuhnutí poklidně odvíjí v kašovité zóně, tj. v oblasti mezi isotermami likvidu a solidu.
Tuhnutí odlitků je doprovázeno procesem krystalizace, kdy dochází k tvoření primárních struktur odlitku. To obsahuje tvorbu nukleaci krystalů, jejich následný růst, který je doprovázený segregací, tvořením strukturních defektů atd. Rozhodujícím parametrem je zde stupeň přechlazení taveniny kovu, který je tak řídící silou procesu krystalizace. Výsledkem procesu bude odlitek, obsahující konečnou strukturu. Mimo to je ovlivněn přidruženými jevy při tuhnutí, jako smrštění kovu, smrštění dutin, jejímž výsledkem jsou mikro a makro staženiny a plynné dutiny či nekovové vměstky. Po úplném ztuhnutí odlitku dochází ke stálému ochlazování ve formě. To je doprovázeno fázovou transformací v tuhém stavu.
Nejdůležitějším působením určující tvoření odlitku je však přenos tepla. Jsou známy tři základní druhy teplotního toku - kondukce (vedení), konvekce (proudění) a radiace (vyzařování). Otázky termodynamiky jsou ve slévárenském procesu velmi často dělením celkového toku energie, například vedení a proudění v oblasti likvidu odlitku, vyzařování a proudění na dalších plochách odlitku a formy atd.
S teplotním přenosem v oblasti tuhnutí a chladnutí kovu souvisí i proces přenosu hmoty. Jev je spojen s pohybem hmoty (difúze), která hraje důležitou roli na vlastnosti budoucího odlitku.

Numerická simulace a modelování hraje důležitou roli při optimalizaci a plánování slévárenských procesů. Modely berou v úvahu přestup tepla, plnění formy, kinetiku tuhnutí, tvorbu struktur, modely pórovitosti, proudění, odmíšení v intervalu tuhnutí, výpočet pnutí, . . . Existují i modely na rychlý výpočet prvních zjednodušených výsledků. Používání modelování se stává v poslední době prakticky použitelné i při predikci množství, druhu a rozložení mikrostruktur.
V současnosti je na světovém trhu již několik softwarových produktů, které slouží nejen slévárenským inženýrům, ale také při laboratorních pracích na vývojové úrovni. [6] Geometrická data jsou vkládána buď transportem z jiných CADů (současná normovaná rozhraní mezi CAD a simulačním programem jsou rozhraní IGES, DXF, VDA-FS, STEP, STL a přímé FEM), nebo se geometrie vytváří přímo v modelovacích programech.
První aplikace numerické simulace na poli odlévání a tuhnutí byla napsána 
Fursundem v roce 1962 /7/. Fursund se zabýval teplotním polem v pískových formách. Ne dlouho po něm, v roce 1965, Hensel a Keverian /8/ použili podobnou numerickou metodu pro popis tuhnutí ocelových odlitků, v práci dále pokračovali s Pehlkem - 1979 /9/. Norská skupina rozšířila jejich výzkum pro nízkotlaké tlaky lití do kokil v 1973 /10/.
Od počátku 80. let je narůst aktivit spojených s numerickou simulaci plnění a modelování (práce Sahma a Hansena a jejich spolupracovníků - 1984 [11], práce I. Ohnaka a jeho kolegů v roce 1987 /12/ a americké skupiny zahrnující Berryho a Bouleta - 1984 /13/). Poslední desetiletí přineslo v této oblasti řadu nových a důležitých bodů, které byly přímo spojeny s nárůstem schopnosti počítačového hardwaru. 
V současné době některý ze simulačních programů přímo používá nebo výsledků využívá již řada sléváren - počítačové modelování tak dnes již představuje standart v mnoha slévárnách. Ve vyspělých průmyslových státech se pomalu stává národní hrdostí mít vyvinutý vlastní simulační prostředek pro slévárenskou praxi.

3.5. Simulace mikrostruktur
První přístup modelování mikrostruktur řeší výsledný druh a množství příslušné fáze v odlitku jako průsečík křivky chladnutí pro daný element - uzel zesíťované geometrie odlitku s příslušným ochlazovacím diagramem ARA. Data diagramu dané slitiny jsou vložena do programu předem. Tento přístup je jednoduchý, jak z hledisek algoritmu výpočtu, času potřebného k výpočtu, tak především z toho důvodu, že není nutné geometrii odlitku rozdělit pro počítačové zpracování na menší elementy, než jsou potřebné pro výpočet teplotního pole či pnutí. 
Nevýhodou je, že pro celý odlitek a celý časový průběh tuhnutí a ochlazování je použit jen jeden diagram o jednom chemickém složení. Do výpočtu není zahrnut model přenosu látky odmíšení, difúze. To s sebou samozřejmě vnáší do výpočtu apriorní chybu, která je tím větší, čím větší je u daného reálného odlitku přenosový jev. Na tomto principy pracuje např. současná verze programu Simtec.

Druhý přístup řeší otázky spojené se vznikem nových fází modelováním na úrovni zrn a ramen dendritů. Do výpočtu jsou zahrnuté algoritmy nukleace, růstu a interakce nové fáze, modelování odmíšení a segregace, tzv. mikropohled.
V posledních letech byly pro tento druhý přístup v literatuře popsány různé modely, které slouží pro simulování tvoření zárodků a následujícího růstu nové fáze v tavenině. V zásadě je lze rozdělit na dva přístupy [14]:
a) deterministický
b) stochastický

ad a) U deterministických modelů jsou jak pro tvoření zárodků, tak pro jejich následující růst odvozeny funkce, které při předem daných podmínkách chladnutí vedou vždy ke stejným výsledkům. Novinky v oblasti deterministických modelů vycházejí z prací Rappaze a Thévoze z roku 1987 /15/, /16/.
Další pánové - Nastac a Stefanescu /17/ se zabývali otázkou tvorby dendritů a odvozením postupů, které rozlišují mezi tzv. "hvězdicovitými" a "kulovitými" dendrity. Předpokládají, že "hvězdicovité" dendrity se při podchlazení, které se v praxi vyskytuje, velmi rychle přemění na "kulovité". Pro růst "kulovitých" dendritů se předpokládá, že je určován hroty dendritů směřujících ven. 
Simulace struktury při tuhnutí litin s kuličkovým grafitem, včetně následné přeměny austenitu na ferit a perlit rozvíjí Svensson aj. /18/, /19/.
Do studia tuhnutí s lokálně orientovanou strukturou zahrnují Wang, Beckermann /20/ kromě pevné fáze i mezidendritickou, resp. mimodendritickou taveninu jako samostatnou složku a řeší příslušné rovnice koncentrace metodou "volume-average". Určují průběh podílu pevné fáze jako funkci koncentrace, resp. teploty. 

ad b) V poslední době rostou snahy simulovat stochastickými modely přímo strukturu vzniklou tuhnutí odlitků tak, jak ji známe z vyobrazení z výbrusů. Tedy rozdělení zrn jejími hranicemi, tvar jednotlivých zrn, orientaci krystalů atd. Vedoucí postavení v této oblasti má skupina kolem Rappaze z EPFL Lausanne, která do simulace tuhnutí zavedla metodu tzv. buněčných automatů (cellular automata). 
Domníváme se, že se tento postup bude v nadcházejícím desetiletí rozhodující měrou podílet na dalším postupu v materiálových vědách. Takový způsob simulačních výpočtů již dnes umožňuje stanovit průměrnou hustotu zrn jako funkci místa, distribuci četnosti velikostí zrn, rozdělení hustoty nejbližších sousedů či orientace krystalů (textury) . 

Další oblastí, které se věnuje řada prací, je přenos hmoty během tuhnutí odlitků. Například Exner, jeho spolupracovníci [21], [22] navrhují model mikroodmíšení, který bere v úvahu zpětnou difúzi v solidu, zhrubnutí větev dendritů a podchlazení na jejich hrotech, podchlazení mezidendritického eutektika a "dopřednou difúzi" v tavenině.
Podobné práce uskutečnil Voller a Sundaraj [23], kteří pro výpočet chemické aktivity používají diferenciální rovnice.

Pro numerický popis trojrozměrných povrchů taveniny existují v současné době dva hlavní přístupy: MAC (Marker and Cell) a VOF (Volume of Fluid). Obě metody používají strukturované ortogonální sítě. Výpočty metodou MAC jsou časově velmi náročné, proto se stále více používají metody VOF, jež však má jistá omezení. Proto byly vyvinuty metody, které kombinují obě předcházející [24]. 

Proces konvekce během tuhnutí vyvolává makrosegregaci (odmíšeniny typu A a V). Pohyb taveniny, ke kterému při tom dochází, není zpravidla výsledkem procesu plnění, ale je více založen na lokálních rozdílech hustoty, rozdílných teplotách a nebo koncentrací složek v tavenině. Vztlak, který při tom vznikne, je třeba vyjadřovat odpovídajícími členy v Navier -Stokesové rovnici. Proto je nutné při simulaci tohoto procesu spřáhnout řešení rovnic o zachování hmoty (rovnice kontinuity), impulzu (rovnice Navier-Stokesová), energie (rovnice vedení tepla) a množství látky (rovnice vyjadřující koncentraci).

Nastac a Stefanescu představují modely růstu pro metastabilní a stabilní tuhnutí, do kterého byl začleněn model mikoodmíšení, aby se dal popsat vliv třetího prvku na konkurenční růst obou eutektik. V [25] je popsán jejich výpočet parametrů primárního austenitu, eutektické litiny s lupínkovým grafitem a bílé tuhnutí, stanovení počtu zrn, odmíšení, změny rovnovážné teploty a růstu feritu, resp. perlitu. 

Nové - ve světě vyvinuté simulační programy popisují mikrostrukturu i na základě makroskopické rovnováhy, nukleace a růstu zrn se zahrnutím termodynamiky procesu. Do výpočtu je zahrnut i vývin latentního tepla při tuhnutí, které působí svými účinky při ochlazování. Modelování dějů tak probíhá na úrovni jednotlivých zrn či ramen dendritů. U této simulace mikrostruktury je nutné provést zesíťování oblasti na plochu menší, než je jejich očekávaná velikost. Výsledkem je pak zobrazení morfologie zrn nebo dendritů. Nárůst výpočetní doby lze akceptovat, zejména s přihlédnutím na velký nárůst v přesnosti výpočtu.

Ačkoliv i dřívější programy řešící simulaci mikrostruktury v meziprostorách primárních a sekundárních ramen dendritů či otázky porezity vedly, při použití kriteriárních funkcí, k přijatelným výsledkům, až zahrnutí mikro- a makromodelování vede k značnému zpřesnění výsledků. Lze počítat poměry na hrotu dendritů, podchlazení mezidendritického eutektika a difúze v pevné fázi.

Pro dosažení správných výsledků byla do modelů zahrnuta i predikce odlišných fází, které se v technických slitinách vyskytují, tj. tvorba karbidů a dalších precipitátů. Přestože tyto složky představují malé objemy ve slitinách, působí na změnu teplotních charakteristik. Jejich působení na "solidifakční cestě" je již známé, což umožňuje zavedení do výpočtu vzájemného fázového diagramu.
Částí, která při predikci výsledných fází hraje klíčovou roli je chemické složení, které se mění v závislosti na toku energie a hmoty, je jimi ovlivňováno a samo ovlivňuje podmínky chladnutí. Mapování chemického složení lze řešit jak na úrovni celého odlitku, tak na mikroúrovni. Nové simulační programy se pokoušejí proto provést i mapování rozložení chemických prvků v odlitcích, stejně tak jako jevy mikro a makro segregace kovů [26], [27].

V poslední době bylo vyvinuto více přístupů pro popis vývoje mikrostruktury během tuhnutí. Jev nukleace je zapsán skrz metodu Monte- Carlo. Růstový jev pak lze zapsat jak v deterministickém, tak i v pravděpodobnostním tvaru při uvažování preferencí krystalografických zrn [28].

Rovněž jsou vyvíjené modely pro popis vývoje mikrostruktury během tuhnutí s využitím pravděpodobnostního výpočtu a empirických předpisů a se zahrnutím krystalografických aspektů tuhnutí. Vypočet se tak pomalu stává "dynamickým mikroskopem". Lze však předpokládat, že stejný postup můžeme použít i pro další slitiny [27].

Mnoho pozornosti slévačů je věnováno mikrostaženinám, povrchové kvalitě, mechanickým vlastnostem a podobně. Tyto vlastnosti však nemohou být prozatím získány přímým výpočtem, proto je nutné v mnoha případech pro získání odpovědí použít kriteriárních funkcí, které popisují více nebo méně přesně studovanou oblast. 
Funkční kritéria jsou použita pro predikci zdravých odlitků a mikrostruktury, např. aplikace Niyamaova kritéria pro predikci tvorby mikroporezity [29]. Není sice možné potvrdit, která chyba se bude tvořit v určité oblasti, ale lze alespoň načrtnout oblasti mající vyšší pravděpodobnost tvoření vady. 
Omezení kriterií spočívá v jejich závislosti na velikosti stupnice, např. Pellinio nebo Niymanovo kritérium. Velmi málo z nich je tvarově nezávislé - např. Hansen Sahmovo. Při zavedení bezrozměrných kritérií by došlo ke zmenšení stupně empiričnosti těchto metod a k podpoře jejich obecné použitelnosti. Např. Niyamanovo kritérium může být napsáno i v bezrozměrném tvaru tak, jak je to uvedeno v literatuře [27].

3.6. Matematický popis vedení a přenosu tepla
Z matematického hlediska procesy přestupu tepla probíhající v oblasti odlitku patří do skupiny problémů pohyblivých okrajů vyjádřených systémem parciálních diferenciálních rovnic a příslušnými podmínkami výchozího okraje. Řešený problém je nelineární, protože jak termofyzikální parametry vyskytující se v diferenciálních rovnicích, tak koeficienty v okrajových podmínkách jsou nelineární a jsou zpravidla závislé na teplotě. [30]
Není žádným tajemstvím, že numerické metody, např. metoda konečných prvků nebo metoda okrajových prvků, jsou mnohem účinnější pro numerické řešení lineárních problémů. 
V současné době je pro průmyslovou praxi dobře zvládnut matematický popis proudění jednofázové nestlačitelné kapaliny s přestupem tepla mezi tekutým kovem a formou, který se opírá o rovnice zákona zachování hmoty - rovnice kontinuity, zákona zachování hybnosti - Navier-Stokesova rovnice a zákona zachování energie - rovnice zachování entalpie [31].

K určení tepelného toku je třeba znát gradient teploty a tedy i rozdělení teploty. K řešení se používá diferenciální rovnice vedení tepla, jež se odvodí z prvního termodynamického zákona.

3.7. Numerické metody řešení nestacionárního vedení tepla
Analytická metoda řešení parciální diferenciální rovnice pro vedení tepla je vhodná jen pro nejjednodušší úlohy, vyskytující se v praxi. U metody numerické se analytické řešení nahrazuje numerickým, které je základem k sestavení výpočtových programů.

Výhody numerického řešení:
a) Možnost řešení teplotního pole ve 2D a 3D tvaru
b) Možnost řešení teplotního pole s nelineární okrajovou podmínkou
c) Možné řešení s proměnnými materiálovými vlastnostmi (měrná hmotnost, měrné teplo a vodivost)

Nevýhody numerického řešení:
a) Snížená přesnost dosažených výsledků, závisející na volbě hustoty sítě
b) Pracnost při sestavování algoritmu a programu
c) Náhrada časové derivace


                                                                             Stáhnout PDF soubor s kap 1 - 4 (3,7 MB)

Předcházející kapitola: 2. Úvod

Následující kapitola: 4. Litiny
      

Upozornění: Pokud použijete část z moji disertační práce, dodržujte Autorský zákon a dbejte na správnost citací