|
6. Matematické
modely v simulačních programech
Základem vědeckotechnických výpočtů pro potřebu
technického rozvoje jsou řešení známých diferenciálních
rovnic matematické fyziky. Výpočtové postupy před nástupem
počítačů používaly často velmi zjednodušujících předpokladů,
výsledky analytického řešení proveditelných jen pro
geometricky jednoduché oblasti a zvláštní případy
okrajových podmínek, příhodných pro výpočet.
Rozvoj výpočetní techniky umožnil zavedení novodobých výpočetních
metod, způsobilých k řešení úloh v prakticky libovolně
utvářených geometrických oblastech a při okrajových podmínkách
běžně se vyskytující v technické praxi. Největší význam
mezi přibližnými numerickými metodami získala metoda konečných
prvků, která se brzy prosadila jak při řešení úloh z
oblasti pružnosti a pevnosti, tak i z oblasti teplotních polí
a obecně potenciálních úloh stacionárních i nestacionárních
[51].
6.1. The finite differences method - FDM
Metoda konečných diferencí (FDM) je vhodná pro mnohé
aplikace, kde je využito její vhodnosti při aproximaci řešení
spojených s teplotním přenosem. Pro použití této metody
nepochybně mluví dva důležité argumenty. Prvním z nich
je jednoduchost při programování a numerické realizaci a
druhým důvodem je relativní jednoduchost v nelineárních
matematických modelech.
Mezi vady této metody však patří problém s aproximací
okrajových podmínek na jednotlivých částech hranic, které
nejsou vhodně použitelné na rozdílně husté sítě, zhoršení
přesnosti aproximovaného řešení pro síť s různým
odstupem uzlů a konečně, nezbytnost relativně hustého časového
kroku.
Každá geometrie musí být pro potřeby výpočtů rozdělena
na síť. Prostorová (geometrická) síť je tvořena
skupinou samostatných bodů v určité oblasti.
Síť zobrazena na obr. 15 je dvoudimenzionální (2D) obdélníková
síť s kladným souřadnicovým systémem. V jiných případech
bude vhodnější použít válcovou, kulovou, kosoúhlou nebo
toroidní síť a nebo komponenty těchto sítí. Každá síť
je tvořena uzly, které rozdělujeme na vnitřní a hraniční
uzly. Na obr. 16 jsou znázorněny takové hvězdice s 5, 7 a
9 - ti bodovým počátkem. V teplotním výpočtu jsou
obvykle používány 5 - ti bodové hvězdice.
Výchozím bodem metody FDM je časově závislé rozdělení
teploty v odlitku, jenž je popsáno diferenciálními
rovnicemi. Ty však mohou být analyticky řešené jen pro
kouli nebo nekonečnou plochu. Všechny ostatní tělesa lze
řešit jenom na základě podobností.
Pomocí této diferenční metody se úloha převede dle
diferenciálního operátoru (nejčastěji pomocí Taylorova
rozvoje) na diferenciální rovnice, podle níž se různá tělesa
mohou řešit za určitých omezení - okrajové podmínky pro
řešení diferenciálních rovnic. Tohoto postupu je využito
v simulačních programech.
6.2. The control volume method - CVM
Control Volume Method - CVM je zvláštní variantou FDM,
která je používána při výpočtech teplotního a látkového
přenosu. Ačkoliv není tato metoda plně akceptována po
matematické stránce, neboť se z části odvolává na
intuitivní postupy a může mít i obtíže s konvergenci, přesto
se v numerických aplikacích pomocí ní řeší i velmi
komplikované úlohy a to s vysokou kvalitou výsledku, které
byly následně potvrzeny experimentálními metodami. Kromě
toho lze dokázat, že pro typické tvary upravených objemů
(obdélník, válec, koule atd.) leží energetická rovnováha
v totožných vztazích jak u metody FDM [2].
Když řešíme přenosové jevy spojené s teplotním polem,
prvně provedeme opět rozdělení oblasti na elementární
objemy. Předpokládejme teplotní pole včetně vnitřního
tepla, které je soustředěno do uzlů, zatímco teplotní
odpory jsou soustředěny v oblastech spojených uzly sítě.
Teplotní překážky - odpory mezi uzly mohou být definovány
dvěma způsoby, například Szargut /52/ uvádí následující
postup:
Další definici metody lze nalézt v literatuře /53/:
CVM transformuje dosti různorodé technické úlohy, jako například
model makroskopické segregace či určení smrštění a
vznik dutin v odlitcích.
6.3. The Finite Element Method - FEM
Metoda konečných prvků (též MKP) představuje moderní,
vysoce efektivní numerickou metodu pro řešení technických
a vědeckých úloh. V současnosti je považována za jednu z
nejúčinnějších přibližných metod pro řešení problémů
popsaných diferenciálními rovnicemi.
Metodu konečných prvků navrhl v roce 1943 Richard Courant,
americký matematik německého původu. Zhruba o deset let
později byla znovu objevena americkými inženýry při provádění
pevnostních výpočtů leteckých konstrukcí. Systematické
teoretické studium MKP (FEM) začalo až v šedesátých
letech. V roce 1968 dokázal jako první konvergenci MKP brněnský
profesor Miloš Zlámal (1924 - 1997) [54].
Základní myšlenkou metody je, že se nejprve trianguluje vyšetřované
těleso, tj. rozdělí se na konečný počet jednotlivých
oblastí, což jsou pro rovinnou úlohu většinou trojúhelníky
či čtyřúhelníky a pro prostorové úlohy čtyřstěny, pětistěny,
kvádry a podobně. Poté se minimalizuje odpovídající
potenciální energie na množině spojitých a po částech
polynomických funkcí nad již vytvořenou triangulací.
Vhodnou volbou bázových funkcí lze tuto úlohu převést na
řešení soustavy lineárních (popř. nelineárních)
algebraických rovnic, jejíž matice je řídká, tj.
obsahuje většinou nulové prvky.
Řídkost matice snižuje nároky na paměť počítače a počet
prováděných aritmetických operací. To nám již v současnosti
umožňuje řešit obrovské soustavy až o miliónech rovnic
a milionech neznámých na počítačích s paralelní
architekturou. Pokud je úloha nelineární, její řešení
se většinou převádí na posloupnost lineárních rovnic.
Hlavní výhodou MKP je, že umožňuje dokonale aproximovat
vyšetřované těleso a že celý výpočtový proces lze na
počítačích zautomatizovat:
· Interpolace vstupních dat
· Generování triangulí
· Sestavení soustavy algebraických rovnic
· Vyřešení soustavy algebraických rovnic
· Vyhlazení numerického řešení
· Aposteriorní odhady chyby
· Grafické znázornění výsledků
Těchto sedm bodů je implementováno v nepřeberném množství
souborů programů, které vytvářejí uživatelsky příjemné
prostředí pro zadání úlohy spolu s kontrolou vstupních
údajů (např. v programu SIMTEC, kterého je používáno
pro výpočet úloh spojených s řešením teplotního pole).
Zjemňování sítě probíhá buď interaktivně, kdy si uživatel
sám volí oblasti, kde chce získat lepší aproximaci řešení,
nebo adaptivně (tj. bez zásahu člověka). V tomto druhém případě
počítač sám vyhodnocuje velikost chyby na jednotlivých
prvcích, které pak případně dále rozděluje. Příslušná
výstupní data jsou pak ve formě izolinií, různě obarvených,
stínovaných či vyšrafovaných ploch [29].
Metoda konečných prvků (nebo také elementů) je nejpopulárnější
metodou používanou pro numerické modelování okrajových
počátečních problémů jak v oblasti mechaniky, tak i pro
přenosové jevy tepla. Vývoj směrem k osobním počítačům
a CAD systémům ještě zvýšil význam této metody, která
je dnes začleňována do CAD systémů a tvoří jeden ze základních
bloků moderního počítačového navrhování.
Značná pozornost je v současnosti věnována rozvoji nového
směru v metodě konečných prvků, pro který se vžil
anglický termín "domain decomposition method". Při
tomto postupu je těleso rozděleno na několik oblasti, které
mají relativně jednoduchý geometrický tvar, využije se
toho, že na oblastech takto jednoduchého tvaru lze počítat
tzv. rychlé algoritmy, čímž se značně sníží počet výpočtových
operací.
Nyní si stručně ukažme řešení nestacionárního vedení
tepla v odlitku a formě Fourierovou rovnici (navržena panem
Fourierem před více jak 170 lety), která je v několika
programech (např. SIMTEC) použita pro modelování teplotního
pole právě ve spojení s FEM.
Při řešení Fourierovy rovnice je třeba dbát okrajových
podmínek čtyř druhů:
1. druhu - je zadána teplota na povrchu tělesa v závislosti
na čase (tzv. podmínka Dirichletova)
T = T (t)
2. druhu - je zadán teplotní gradient na povrchu tělesa
(podmínka Neumannova)
= - l dT / dn
kde n značí jednotkový vektor normály k hranici .
3. druhu - je zadána teplota okolí a součinitel přestupu
tepla mezi tělesem a okolím (nazývaná též podmínka
Newtonova)
-l(dT/dn) = b ( T(t) - To (t) ),
kde b je součinitel přestupu tepla
To je teplota okolního prostředí
4. druhu - jsou zadány termodynamické vlastnosti a
teplotní pole tělesa 2, které přijde v okamžiku Dt=0 do
dokonalého fyzikálního styku s povrchem řešeného tělesa1.
Otázky týkající se konvergence metody FEM přesahují rámec
této práce a odkážeme čtenáře na příslušnou
literaturu [2].
6.4. The Collocation Methods - CM
Přestože metody CM nejsou tak populární jako FDM, FEM
nebo BEM, někteří autoři v nich nalezli zalíbení
/55,56,57/. Prvním důvodem je fakt, že metody CM velmi
efektivně aproximují řešení u širokého okruhu typicky
okrajových počátečních problémů a jsou i numericky
velmi jednoduché, kdy i velmi složité elementy v uvažovaných
počítačových programech jsou řešeny soustavou lineárních
rovnic.
6.5. The Boundary Element Method - BEM
Metoda okrajových elementů je novější metodou pro řešení
okrajových počátečních problémů. Typické použití BEM
je ve spojení s teplotní teorii u slévárenských procesů
pro oblast teplotních polí, neboť nám více vyhovuje počáteční
tvar energetická rovnice (předpo-kládáme-li, že
termofyzikální parametry kovu mohou být pojaty jako
konstanty). .
Metoda okrajových elementů je novější metodou pro řešení
okrajových počátečních problémů. Typické použití BEM
je ve spojení s teplotní teorii u slévárenských procesů
pro oblast teplotních polí, neboť nám více vyhovuje počáteční
tvar energetická rovnice (předpo-kládáme-li, že
termofyzikální parametry kovu mohou být pojaty jako
konstanty). Objekt je v takovém případě rozdělen na trojúhelníkové
oblasti, jak je vidět na obrázku v PDF příloze.
Stáhnout
PDF soubor s kap 5 - 9 (3,8 MB)
Předcházející kapitola: 5.
Popis dějů v litinách
Následující kapitola: 7.
Přehled simulačních programů
Upozornění: Pokud
použijete část z moji disertační práce, dodržujte
Autorský zákon a dbejte na správnost citací |
